卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德國數學(xué)家。1804年12月10日生于普魯士的波茨坦；1851年2月18日卒于柏林。雅可比是數學(xué)史上最勤奮的學(xué)者之一，與歐拉一樣也是一位在數學(xué)上多產(chǎn)的數學(xué)家，是被廣泛承認的歷史上最偉大的數學(xué)家之一。雅可比善于處理各種繁復的代數問(wèn)題，在純粹數學(xué)和應用數學(xué)上都有非凡的貢獻，他所理解的數學(xué)有一種強烈的柏拉圖式的格調，其數學(xué)成就對后人影響頗為深遠。在他逝世后，狄利克雷稱(chēng)他為拉格朗日以來(lái)德國科學(xué)院成員中最卓越的數學(xué)家。

人物生平

雅可比出生于一個(gè)富裕的猶太人家庭，其父是銀行家。雅可比自幼聰明,幼年隨他舅舅學(xué)習拉丁文和數學(xué)。1816年11月進(jìn)入波茨坦大學(xué)預科學(xué)習，1821年春畢業(yè)。當時(shí)他的希臘語(yǔ)、拉丁語(yǔ)和歷史的成績(jì)都很優(yōu)異；尤其在數學(xué)方面，他掌握的知識遠遠超過(guò)學(xué)校所教授的內容。他還自學(xué)了L.歐拉的《無(wú)窮小分析引論》，并且試圖解五次代數方程。

1821年4月雅可比入柏林大學(xué)，開(kāi)始兩年的學(xué)習生活，他對哲學(xué)、古典文學(xué)和數學(xué)都頗有興趣。該校的校長(cháng)評價(jià)說(shuō)，從一開(kāi)始雅可比就顯示出他是一個(gè)“全才”。像高斯一樣，要不是數學(xué)強烈吸引著(zhù)他，他很可能在語(yǔ)言上取得很高成就。雅可比最后還是決定全力投身數學(xué)。1825年，他獲得柏林大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位。之后，留校任教。1825年到1826年冬季，他主講關(guān)于三維空間曲線(xiàn)和曲面的解析理論課程。年僅21歲的雅可比善于將自己的觀(guān)點(diǎn)貫穿在教學(xué)之中，啟發(fā)學(xué)習獨立思考，是當時(shí)最吸引人的數學(xué)教師，他的成功引起普魯士教育部的注意。

1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大學(xué)任教，在柯尼斯堡大學(xué)的18年間，雅可比不知疲倦地工作著(zhù)，在科學(xué)研究和教學(xué)上都做出驚人的成績(jì)。他在數學(xué)方面最主要的成就是和挪威數學(xué)家N.H.阿貝爾相互獨立地奠定了橢圓函數論的基礎，引入并研究了θ 函數和其他一些超越函數。這些工作使法國數學(xué)家A.-M.勒讓德在這一領(lǐng)域的工作黯然失色。但無(wú)私的勒讓德贊揚和支持他和阿貝爾的工作。他對阿貝爾函數也作了研究，還發(fā)現了超橢圓函數。他對橢圓函數理論的透徹研究在數學(xué)界引起轟動(dòng)，從而與N.H.阿貝爾齊名。雅可比在橢圓函數理論、數學(xué)分析、數論、幾何學(xué)、力學(xué)方面的主要論文都發(fā)表在克雷勒的《純粹和應用數學(xué)》雜志上，平均每期有三篇雅可比的文章。這使得他很快獲得國際聲譽(yù)。當時(shí)，他同數學(xué)家貝塞爾、物理學(xué)家F.諾伊曼三人成為德國數學(xué)復興的核心。 1827年12月被任命為副教授，1832年7月為教授。1827年被選為柏林科學(xué)院院士。他還是倫敦皇家學(xué)會(huì )會(huì )員，還是彼得堡、維也納、巴黎、馬德里等科學(xué)院院士。1842年由于健康不佳而退隱，定居柏林。1844年起接受普魯士國王的津貼，在柏林大學(xué)任教。1848年革命期間，由于在一次即席演講中得罪了王室而失去了津貼。當維也納大學(xué)決定聘請他當教授時(shí)，普魯士當局才意識到他的離開(kāi)會(huì )造成的損失，因而恢復了他的待遇。

1851年初雅可比在患流行性感冒還未痊愈時(shí),又得了天花,不久去世.他的密友P.G.L.狄利克雷在柏林科學(xué)家發(fā)表紀念講話(huà)，總結了他在數學(xué)上的杰出貢獻，稱(chēng)他為J.L.?拉格朗日以來(lái)科學(xué)院成員中最卓越的數學(xué)家。

現代數學(xué)許多定理、公式和函數恒等式、方程、積分、曲線(xiàn)、矩陣、根式、行列式以及許多數學(xué)符號都冠以雅可比的名字，可見(jiàn)雅可比的成就對后人影響之深。1881——1891年普魯士科學(xué)院陸續出版了由C.W.博爾夏特等人編輯的七卷《雅可比全集》和增補集，這是雅可比留給世界數學(xué)界的珍貴遺產(chǎn)。

主要成就

雅可比在數學(xué)上做出了重大貢獻。他幾乎與阿貝爾（Abel，Niels Henrik，1802.8.5-1829.4.6）同時(shí)各自獨立地發(fā)現了橢圓函數，是橢圓函數理論的奠基人。1827年雅可比從陀螺的旋轉問(wèn)題入手，開(kāi)始對橢圓函數進(jìn)行研究。1827年6月在《天文報告》（Astronomische Nachrichten）上發(fā)表了《關(guān)于橢圓函數變換理論的某些結果》。1829年發(fā)表了《橢圓函數基本新理論》（Fundamenta Nova Theoeiae Functionum Ellipticarum）,成為橢圓函數的一本關(guān)鍵性著(zhù)作。書(shū)中利用橢圓積分的反函數研究橢圓函數，這是一個(gè)關(guān)鍵性的進(jìn)展。他還把橢圓函數理論建立在被稱(chēng)為θ函數這一輔助函數的基礎上。他引進(jìn)了四個(gè)θ函數，然后利用這些函數構造出橢圓函數的最簡(jiǎn)單的因素。他還得到θ函數的各種無(wú)窮級數和無(wú)窮乘積的表示法。1832年雅可比發(fā)現反演可以借助于多于一個(gè)變量的函數來(lái)完成。于是p個(gè)變量的阿貝爾函數論產(chǎn)生了，并成為19世紀數學(xué)的一個(gè)重要課題。1835年雅可比證明了單變量的一個(gè)單值函數，如果對于自變量的每一個(gè)有窮值具有有理函數的特性（即為一個(gè)亞純函數），它就不可能有多于兩個(gè)周期，且周期的比必須是一個(gè)非實(shí)數。這個(gè)發(fā)現開(kāi)辟了一個(gè)新的研究方向，即找出所有的雙周期函數的問(wèn)題。橢圓函數理論在19世紀數學(xué)領(lǐng)域中占有十分重要的地位。它為發(fā)現和改進(jìn)復變函數理論中的一般定理創(chuàng )造了有利條件。如果沒(méi)有橢圓函數理論中的一些特例為復變函數理論提供那么多的線(xiàn)索，那么復變函數理論的發(fā)展就會(huì )慢得多。

雅可比在函數行列式方面有一篇著(zhù)名的論文：《論行列式的形成與性質(zhì)》（1841）。文中求出了函數行列式的導數公式；還利用函數行列式作工具證明了，函數之間相關(guān)或無(wú)關(guān)的條件是雅克比行列式等于零或不等于零。他又給出了雅可比行列式的乘積定理。

雅可比在分析力學(xué)、動(dòng)力學(xué)以及數學(xué)物理方面也有貢獻。C.馬克勞林、P.-S.拉普拉斯和J.-L.拉格朗日等曾得到這樣的結論：當均勻流體取旋轉橢球體的形狀且繞旋轉軸轉動(dòng)時(shí)，形狀不會(huì )改變。雅可比進(jìn)一步發(fā)現:即使流體形狀是一般的橢球體，也滿(mǎn)足平衡條件。他深入研究了哈密爾頓（Hamilton,William Rowan,1805.8-1865.9）典型方程，經(jīng)過(guò)引入廣義坐標變換后得到一階偏微分方程，稱(chēng)為哈密爾頓雅可比微分方程。他還發(fā)展了這些方程的積分理論，并用這一理論解決了力學(xué)和天文學(xué)的一些問(wèn)題。值得一提的是，在表述經(jīng)典力學(xué)的各種理論中唯有哈密頓－雅可比理論可用于量子力學(xué)。另外，雅可比還找到了恰當表達P．-L．M．de 馬保梯的最小作用量原理的數學(xué)形式，建立了雅可比運動(dòng)方程。他在偏微分方程和分析力學(xué)方面的大部分工作，收在他的著(zhù)作《動(dòng)力學(xué)講義》中。書(shū)中還探討過(guò)一個(gè)橢球體上的側地線(xiàn)，從而導致了兩個(gè)阿貝爾積分之間的關(guān)系。這樣促進(jìn)了常微分方程組和一階偏微分方程組的研究的進(jìn)展。

雅可比第一個(gè)將橢圓函數理論應用于數論研究。他在1827年的論文中已做了一些工作，后來(lái)又用橢圓函數理論得到同余式和型的理論中的一些結果，他曾給出過(guò)二次互反律的證明，還陳述過(guò)三次互反律并給出了證明。

雅可比對數學(xué)史的研究也感興趣。1846年1月做過(guò)關(guān)于R.笛卡爾(Descartes，Rence，1596.3.31-1650.2.11)的通俗演講，對古希臘數學(xué)也做過(guò)研究和評論。1840年他制訂了出版歐拉著(zhù)作的計劃(因歐拉的孫子發(fā)現歐拉有許多文章未發(fā)表) 。

另外他在發(fā)散級數理論、變分法中的二階變分問(wèn)題、線(xiàn)性代數和天文學(xué)等方面均有創(chuàng )見(jiàn)。他的工作還包括代數學(xué)、變分法、復變函數論和微分方程，以及數學(xué)史的研究。將不同的數學(xué)分支連通起來(lái)是他的研究特色。他不僅把橢圓函數論引進(jìn)數論研究中，得到了同余論和型的理論的一些結果，還引進(jìn)到積分理論中。而積分理論的研究又同微分方程的研究相關(guān)聯(lián)。此外，尾乘式原理也是他提出的。

現在數學(xué)中的許多定理、公式和函數恒等式、方程、積分、曲線(xiàn)、矩陣、根式、行列式及多種數學(xué)符號的名稱(chēng)都冠以雅克比的名字。1881—1891年普魯士科學(xué)院陸續出版了由C.W.博爾夏特(Borchardt)等人編輯的七卷《雅可比全集》和增補集，這是雅可比留給世界數學(xué)界的珍貴遺產(chǎn)。

雅可比行列式

雅可比行列式通常稱(chēng)為雅可比式(Jacobian)它是以n個(gè)n元函數的偏導數為元素的行列式 。事實(shí)上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的系數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。 若因變量對自變量連續可微，而自變量對新變量連續可微,則因變量也對新變量連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類(lèi)似于導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類(lèi)似的公式；這常用于重積分的計算中。如果在一個(gè)連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恒等于零，則函數組是函數相關(guān)的，其中至少有一個(gè)函數是其余函數的一個(gè)連續可微的函數。

雅可比矩陣

雅可比行列式通常稱(chēng)為雅可比式(Jacobian)它是以n個(gè)n元函數的偏導數為元素的行列式 。事實(shí)上，在函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函數組的微分形式下的系數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。 若因變量對自變量連續可微，而自變量對新變量連續可微,則因變量也對新變量連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類(lèi)似于導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類(lèi)似的公式；這常用于重積分的計算中。如果在一個(gè)連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恒等于零，則函數組是函數相關(guān)的，其中至少有一個(gè)函數是其余函數的一個(gè)連續可微的函數。

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱(chēng)為雅可比行列式。還有，在代數幾何中，代數曲線(xiàn)的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線(xiàn)的一個(gè)群簇，曲線(xiàn)可以嵌入其中。它們全部都以數學(xué)家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發(fā)音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。雅可比矩陣的重要性在于它體現了一個(gè)可微方程與給出點(diǎn)的最優(yōu)線(xiàn)性逼近。因此，雅可比矩陣類(lèi)似于多元函數的導數。雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣。