約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著(zhù)名數學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學(xué)方面的成就最為突出。

人物生平

拉格朗日父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據拉格朗日本人回憶，如果幼年時(shí)家境富裕，他也就不會(huì )作數學(xué)研究了，因為父親一心想把他培養成為一名律師。拉格朗日個(gè)人卻對法律毫無(wú)興趣。

拉格朗日科學(xué)研究所涉及的領(lǐng)域極其廣泛。他在數學(xué)上最突出的貢獻是使數學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開(kāi)來(lái)，使數學(xué)的獨立性更為清楚，從此數學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。

拉格朗日總結了18世紀的數學(xué)成果，同時(shí)又為19世紀的數學(xué)研究開(kāi)辟了道路，堪稱(chēng)法國最杰出的數學(xué)大師。同時(shí)，他的關(guān)于月球運動(dòng)（三體問(wèn)題）、行星運動(dòng)、軌道計算、兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題、流體力學(xué)等方面的成果，在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上，也起到了歷史性的作用，促進(jìn)了力學(xué)和天體力學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，成為這些領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng )性或奠基性研究。

在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時(shí)間花在代數方程和超越方程的解法上，作出了有價(jià)值的貢獻，推動(dòng)一代數學(xué)的發(fā)展。他提交給柏林科學(xué)院兩篇著(zhù)名的論文：《關(guān)于解數值方程》和《關(guān)于方程的代數解法的研究》 。把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程（稱(chēng)輔助方程或預解式）以求解。

拉格朗日也是分析力學(xué)的創(chuàng )立者。拉格朗日在其名著(zhù)《分析力學(xué)》中，在總結歷史上各種力學(xué)基本原理的基礎上，發(fā)展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進(jìn)一步把數學(xué)分析應用于質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)，提出了運用于靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的普遍方程，引進(jìn)廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學(xué)體系的運動(dòng)方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W(xué)形式，奠定了分析力學(xué)的基礎，為把力學(xué)理論推廣應用到物理學(xué)其他領(lǐng)域開(kāi)辟了道路。

他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉對稱(chēng)軸上的定點(diǎn)轉動(dòng)（拉格朗日陀螺）的歐拉動(dòng)力學(xué)方程的解，對三體問(wèn)題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動(dòng)的定型問(wèn)題。拉格朗日對流體運動(dòng)的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動(dòng)的拉格朗日方法。

拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)。他用自己在分析力學(xué)中的原理和公式，建立起各類(lèi)天體的運動(dòng)方程。在天體運動(dòng)方程的解法中，拉格朗日發(fā)現了三體問(wèn)題運動(dòng)方程的五個(gè)特解，即拉格朗日平動(dòng)解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動(dòng)問(wèn)題，提出了彗星起源假說(shuō)等。

近百余年來(lái)，數學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數學(xué)史上被認為是對分析數學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數學(xué)家之一。

出身

拉格朗日父姓拉格朗日亞（Lagrangia）。拉格朗日在都靈出生受洗記錄上的正式名字為約瑟普·洛德維科·拉格朗日亞（Giuseppe Lodovico，Lagrangia）。父名弗朗切斯科·洛德維科·拉格朗日亞（Francesco Lodovico， Lagrangia）；母名泰雷薩·格羅索（Teresa Grosso）。他曾用過(guò)的姓有德·拉·格朗日（De la Grange），拉·格朗日（La Grange）等。去世后，法蘭西研究院給他寫(xiě)的頌詞中，正式用約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ）。父系為法國后裔。曾祖是法國騎兵上校，到意大利后與羅馬家族的人結婚定居；祖父任都靈的公共事務(wù)和防務(wù)局會(huì )計，又同當地人結婚。父親也在都靈同一單位工作，共有11個(gè)子女，但大多數夭折，拉格朗日最大。

青年時(shí)代

到了青年時(shí)代，在數學(xué)家雷維里的教導下，拉格朗日喜愛(ài)上了幾何學(xué)。17歲時(shí)，他讀了英國天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，感覺(jué)到“分析才是自己最熱愛(ài)的學(xué)科”，從此他迷上了數學(xué)分析，開(kāi)始專(zhuān)攻當時(shí)迅速發(fā)展的數學(xué)分析。

18歲時(shí)，拉格朗日用意大利語(yǔ)寫(xiě)了第一篇論文，是用牛頓二項式定理處理兩函數乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語(yǔ)寫(xiě)出寄給了當時(shí)在柏林科學(xué)院任職的數學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個(gè)世紀前就被萊布尼茲取得了。這個(gè)并不幸運的開(kāi)端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅定了他投身數學(xué)分析領(lǐng)域的信心。

游歷時(shí)代

1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數學(xué)難題“等周問(wèn)題”的過(guò)程中，他以歐拉的思路和結果為依據，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開(kāi)創(chuàng )的變分法，為變分法奠定了理論基礎。變分法的創(chuàng )立，使拉格朗日在都靈聲名大振，并使他在19歲時(shí)就當上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當時(shí)歐洲公認的第一流數學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。

1764年，法國科學(xué)院懸賞征文，要求用萬(wàn)有引力解釋月球天平動(dòng)問(wèn)題，他的研究獲獎。接著(zhù)又成功地運用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復雜的六體問(wèn)題（木星的四個(gè)衛星的運動(dòng)問(wèn)題），為此又一次于1766年獲獎。

1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請時(shí)說(shuō)，在“歐洲最大的王”的宮廷中應有“歐洲最大的數學(xué)家”。于是他應邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數學(xué)部主任，居住達20年之久，開(kāi)始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了《分析力學(xué)》一書(shū)，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著(zhù)作。書(shū)中運用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱(chēng)：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。

1783年，拉格朗日的故鄉建立了"都靈科學(xué)院"，他被任命為名譽(yù)院長(cháng)。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀請，離開(kāi)柏林，定居巴黎，直至去世。

這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國度量衡統一問(wèn)題的委員會(huì )，并出任法國米制委員會(huì )主任。1799年，法國完成統一度量衡工作，制定了被世界公認的長(cháng)度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。

1791年，拉格朗日被選為英國皇家學(xué)會(huì )會(huì )員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數學(xué)教授。1795年建立了法國最高學(xué)術(shù)機構——法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數理委員會(huì )主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫(xiě)了一批重要著(zhù)作：《論任意階數值方程的解法》、《解析函數論》和《函數計算講義》，總結了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。

與世長(cháng)辭

1813年4月3日，拿破侖授予他帝國大十字勛章，但此時(shí)的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

主要貢獻

拉格朗日在數學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性貢獻，但他主要是數學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數學(xué)分析的威力。全部著(zhù)作、論文、學(xué)術(shù)報告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò)500篇。

拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀后半期。當時(shí)數學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)的主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。當時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻。下面就拉格朗日的主要貢獻分別評述。

數學(xué)

數學(xué)分析的開(kāi)拓者

牛頓和萊布尼茲以后的歐洲數學(xué)分裂為兩派。英國仍堅持牛頓在《自然哲學(xué)中的數學(xué)原理》中的幾何方法，進(jìn)展緩慢；歐洲大陸則按萊布尼茲創(chuàng )立的分析方法（當時(shí)包括代數方法），進(jìn)展很快，當時(shí)叫分析學(xué)（analysis）。拉格朗日是僅次于歐拉的最大開(kāi)拓者，在18世紀創(chuàng )立的主要分支中都有開(kāi)拓性貢獻。

變分法

這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結果為依據，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”（Recherches sur la méthode demaximis et minimies）[2]是他研究變分法的序幕； 1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”（Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies）[3]是用分析方法建立變分法的代表作。發(fā)表前寫(xiě)信給歐拉時(shí)，稱(chēng)此文中的方法為“變分方法”（themethod of variation）。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”（the calculus of variation）。變分法這個(gè)分支才真正建立起來(lái)。

拉格朗日方法是對積分進(jìn)行極值化，函數y=y(x)待定。他不像歐拉和前人用改變極大或極小化曲線(xiàn)的個(gè)別坐標的辦法，而是引進(jìn)通過(guò)端點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線(xiàn)y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲線(xiàn)y(x)的變分。J相應的增量△J按δy，δy′展開(kāi)的一、二階項叫一次變分δJ和二次變分δ2J。他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程

他達繼續討論了端點(diǎn)變動(dòng)時(shí)的情況以及兩個(gè)自變量的重積分的情況，使這個(gè)分支繼續發(fā)展。1770年以后，拉格朗日達研究了被積函數f包含高階導數的單重和多重積分時(shí)的情況，已發(fā)展成為變分法的標準內容。

微分方程

早在都靈時(shí)期，拉格朗日就對變系數常微分方程研究做出重大成果。他在降階過(guò)程中提出了以后所稱(chēng)的伴隨方程，并證明了非齊次線(xiàn)性變系數方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關(guān)于常系數齊次方程的結果推廣到變系數情況，證明了變系數齊次方程的通解可用一些獨立特解乘上任意常數相加而成；而且在知道方程的m個(gè)特解后，可以把方程降低m價(jià)。

在柏林時(shí)期，他對常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”（Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles）[22]中系統地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對積分常數的偏導數消去常數求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線(xiàn)族的包絡(luò )線(xiàn)。當然，他的奇解理論還不完善，現代奇解理論的形式是由G.達布（Darboux）等人完成的。

常微分方程組的研究在當時(shí)結合天體力學(xué)中的課題進(jìn)行。拉格朗日在1772年完成的“論三體問(wèn)題”（Essai sur le problémedes trois corps）[8]中，找出了三體運動(dòng)的常微分方程組的五個(gè)特解：三個(gè)是三體共線(xiàn)情況；兩個(gè)是三體保持等邊三角形；在天體力學(xué)中稱(chēng)為拉格朗日平動(dòng)解。他同拉普拉斯一起完善的任意常數變異法，對多體問(wèn)題方程組的近似解有重大作用，促進(jìn)了攝動(dòng)理論的建立。

拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的?！瓣P(guān)于一階偏微分方程的積分”（Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order）[21]和1785年完成的“一階線(xiàn)性偏微分方程的一般積分方法”（Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires）[23]中，系統地完成了一階偏微分方程的理論和解法。

他首先提出了一階非線(xiàn)性偏微分方程的解分類(lèi)為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關(guān)系。后來(lái)又進(jìn)一步證明了解線(xiàn)性方程Pp+Qq=R(P，Q，R為x，y，z的函數)(5)與解等價(jià)，而解(6)式又與解常微分方程組等價(jià)。(5)式至今仍稱(chēng)為拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一階非線(xiàn)性偏微分方程，可以化為解常微分方程組。但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個(gè)特殊的一階偏微分方程時(shí)，還說(shuō)不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結果?，F代也有時(shí)稱(chēng)此方法為拉格朗日方法，又稱(chēng)為柯西(Cauchy)的特征方法。因拉格朗日只討論兩個(gè)自變量情況，在推廣到n個(gè)自變量時(shí)遇到困難，而后來(lái)由柯西在1819年克服。

方程論

18世紀的代數學(xué)從屬于分析，方程論是其中的活躍領(lǐng)域。拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數方程和超越方程的解法上。

他在代數方程解法中有歷史性貢獻。在長(cháng)篇論文“關(guān)于方程的代數解法的思考”（Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421）中，把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數方法解出的原因。三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為三次方程根的函數，在根的置換下只有兩個(gè)值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個(gè)不同值，因而輔助方程為三次方程。拉格朗日稱(chēng)輔助方程的解為原方程根的預解函數（是有理函數）。他繼續尋找5次方程的預解函數，希望這個(gè)函數是低于5次的方程的解，但沒(méi)有成功。盡管如此，拉格朗日的想法已蘊含著(zhù)置換群概念，而且使預解（有理）函數值不變的置換構成子群，子群的階是原置換群階的因子。因而拉格朗日是群論的先驅。他的思想為后來(lái)的N.H.阿貝爾（Abel）和E.伽羅瓦（Galois）采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問(wèn)題。

拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級數解法。設p為方程，這就是后來(lái)在天體力學(xué)中常用的拉格朗日級數。他自己沒(méi)有討論收斂性，后來(lái)由柯西求出此級數的收斂范圍。

數論

拉格朗日到柏林初期就開(kāi)始研究數論，第一篇論文“二階不定問(wèn)題的解”（Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés）[14]和送交都靈《論叢》的“一個(gè)算術(shù)問(wèn)題的解”（Solution d'un problème d'arithmetique）[15]中，討論了歐拉多年從事的費馬(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A為整數)，(9)

不定問(wèn)題解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的費馬方程

?(B也為整數)(10)的解。還討論了更廣泛的二元二次整系數方程

?，(11)并解決了整數解問(wèn)題。

拉格朗日還在1772年的“一個(gè)算術(shù)定理的證明”（De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp.189—201）中，把歐拉40多年沒(méi)有解決的費馬另一猜想“一個(gè)正整數能表示為最多四個(gè)平方數的和”證明出來(lái)。在1773年發(fā)表的“質(zhì)數的一個(gè)新定理的證明”（Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers）[17]中，證明了著(zhù)名的定理：n是質(zhì)數的充要條件為(n-1)！+1能被n整除。

拉格朗日不僅有大量成果，還在方法上有創(chuàng )新。如在證明(9)式研究”（Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp.695—795）中，研究(11)式解時(shí)采用的方法和結果，是二次型理論的基本文獻。

函數和無(wú)窮級數

同18世紀的其他數學(xué)家一樣，拉格朗日也認為函數可以展開(kāi)為無(wú)窮級數，而無(wú)窮級數則是多項式的推廣。他還試圖用代數建立微積分的基礎。在他的《解析函數論……》（《文集》Ⅸ）中，書(shū)名上加的小標題“含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結為代數分析藝術(shù)”，表明了他的觀(guān)點(diǎn)。由于回避了極限和級數收斂性問(wèn)題，當然就不可能建立真正的級數理論和函數論，但是他們的一些處理方法和結果仍然有用，他們的觀(guān)點(diǎn)也在發(fā)展。

拉格朗日就在《解析函數論……》中，第一次得到微分中值定理（書(shū)中第六章）f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)后面并用它推導出泰勒（Taylor）級數，還給出余項Rn的具體表達式（第二十章）Rn就是著(zhù)名的拉格朗日余項形式。他還著(zhù)重指出，泰勒級數不考慮余項是不能用的。雖然他還沒(méi)有考慮收斂性，甚至各階導數的存在性，但他強調Rn要趨于零。表明他已注意到收斂問(wèn)題。

他同歐拉、達朗貝爾等在任意函數能否表為三角級數的長(cháng)期爭論，雖未解決，但為以后三角級數理論的建立打下了基礎。

拉格朗日內插公式

最后要提一下他在《師范學(xué)校數學(xué)基礎教程》中，提出了著(zhù)名的拉格朗日內插公式。

直到現在計算機計算大量中點(diǎn)內插時(shí)仍在使用。另外在求多元函數相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。

其他

除了對數學(xué)分析在18世紀建立的主要分支有開(kāi)拓性貢獻外，他對嚴格化問(wèn)題也開(kāi)始注意。盡管回避了極限概念，但他仍承認可以在極限基礎上建立微積分（《文集》Ⅰ，p.325）。但正是對嚴格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入。這可能是他晚年研究工作少的原因。他在1781年9月21日給達朗貝爾的信中說(shuō)：“在我看來(lái)，似乎（數學(xué)）礦井已挖掘很深了，除非發(fā)現新礦脈，否則勢必放棄它……”（《文集》XⅢ368）這說(shuō)出了他和其他同事們的心情。事實(shí)表明，19世紀在建立數學(xué)分析嚴格基礎后，數學(xué)更迅速地發(fā)展。

分析力學(xué)

分析力學(xué)的創(chuàng )立者

他在所著(zhù)《分析力學(xué)》(1788)中，吸收并發(fā)展了歐拉、達朗貝爾等人的研究成果，應用數學(xué)分析解決質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體、流體)的力學(xué)問(wèn)題。他在總結靜力學(xué)的各種原理，包括他1764年建立的虛速度原理的基礎上提出分析靜力學(xué)的一般原理，即虛功原理，并同達朗伯原理結合而得到動(dòng)力學(xué)普遍方程。對于有約束的力學(xué)系統，他采用適當的變換，引入廣義坐標，得到一般的運動(dòng)方程，即第一類(lèi)和第二類(lèi)拉格朗日方程。全書(shū)用數學(xué)分析形式寫(xiě)成，沒(méi)有一幅圖，故名《分析力學(xué)》。書(shū)中還給出多自由度系統平衡位置附近微振動(dòng)的基本理論，但對振動(dòng)特征方程有重根情況說(shuō)得不確切，這個(gè)錯誤直到19世紀中葉才分別由K．維爾斯特拉斯(1858)和O．H．索莫夫(1859)作了改正。拉格朗日繼歐拉之后研究過(guò)理想流體運動(dòng)方程，并最先提出速度勢和流函數的慨念，成為流體無(wú)旋運動(dòng)理論的基礎。他在《分析力學(xué)》中從動(dòng)力學(xué)普遍方程導出的流體運動(dòng)方程，著(zhù)眼于流體質(zhì)點(diǎn)，描述每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運動(dòng)過(guò)程。這種方法現在稱(chēng)為拉格朗日方法，以區別著(zhù)眼于空間點(diǎn)的歐拉方法，但實(shí)際上這種方法歐拉也應用過(guò)。拉格朗日研究過(guò)重剛體定點(diǎn)轉動(dòng)并對剛體的慣性橢球是旋轉橢球且重心在對稱(chēng)軸上的情況作過(guò)詳細的分析。這種情況稱(chēng)為重剛體的拉格朗日情況。這一研究在他生前未發(fā)表，后經(jīng)J．比奈整理，收在《分折力學(xué)》第二版(1818)的附錄中。在此以前，泊松在1811年曾獨立得到同樣的結果。拉格朗日在1811年還導得彈性薄板的平衡方程。

天體力學(xué)

天體力學(xué)的奠基者

天體力學(xué)是在牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定律（1687）時(shí)誕生的，很快成為天文學(xué)的主流。它的學(xué)科內容和基本理論是在18世紀后期建立的。主要奠基者為歐拉，A.C.克萊羅（Clairaut）、達朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯。最后由拉普拉斯集大成而正式建立經(jīng)典天體力學(xué)。拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)，但他主要是數學(xué)家，他要把力學(xué)作為數學(xué)分析的一個(gè)分支，而又把天體力學(xué)作為力學(xué)的一個(gè)分支對待。雖然如此，他在天體力學(xué)的奠基過(guò)程中，仍有重大歷史性貢獻。

首先在建立天體運動(dòng)方程上，拉格朗日用他在分析力學(xué)中的原理和(16)，(17)式，建立起各類(lèi)天體的運動(dòng)方程。其中特別是根據他在微分方程解法的任意常數變異法，建立了以天體橢圓軌道根數為基本變量的運動(dòng)方程，仍稱(chēng)作拉格朗日行星運動(dòng)方程，并在廣泛應用，此方程對攝動(dòng)理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學(xué)院獎的論文“彗星在行星作用下的攝動(dòng)理論研究”（Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes）[13]中給出，得到達朗貝爾和拉普拉斯的高度評價(jià)。另外在一篇有關(guān)三體問(wèn)題的獲獎文章中[8]，把三體問(wèn)題的運動(dòng)方程組第一次降到七階。

在天體運動(dòng)方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻是發(fā)現三體問(wèn)題運動(dòng)方程的五個(gè)特解[8]，即拉格朗日平動(dòng)解。其中兩個(gè)解是三體圍繞質(zhì)量中心作橢圓運動(dòng)過(guò)程中，永遠保持等邊三角形。他的這個(gè)理論結果在100多年后得到證實(shí)。1907年2月22日，德國海德堡天文臺發(fā)現了一顆小行星[后來(lái)命名為希臘神話(huà)中的大力士阿基里斯（Achilles），編號588]，它的位置正好與太陽(yáng)和木星形成等邊三角形。到1970年前，已發(fā)現15顆這樣的小行星，都以希臘神話(huà)中特洛伊(Troy)戰爭中將帥們的名字命名。有9 顆位于木星軌道上前面60°處的拉格朗日特解附近，名為希臘人(Greek)群；有6顆位于木星軌道上后面60°處的解附近，名為脫羅央（Trojan）群。1970年以后又繼續發(fā)現40多顆小行星位于此兩群內，其中我國紫金山天文臺發(fā)現四顆，但尚未命名。至于為什么在特解附近仍有小行星，是因為這兩個(gè)特解是穩定的。1961年又在月球軌道前后發(fā)現與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質(zhì)，是拉格朗日特解的又一證明。至今尚未找到肯定在三個(gè)拉格朗日共線(xiàn)群（三體共線(xiàn)情況）處附近的天體，因為這三個(gè)特解不穩定。另外，拉格朗日在一階攝動(dòng)理論中也有重要貢獻，提出了計算長(cháng)期攝動(dòng)方法（《文集》Ⅴ，pp.125—414），并與拉普拉斯一起提出了在一階攝動(dòng)下的太陽(yáng)系穩定性定理（參見(jiàn)《世界著(zhù)名科學(xué)家傳記·天文學(xué)家Ⅰ》中“拉普拉斯”條）。此外，拉格朗日級數(8)式在攝動(dòng)理論中有廣泛應用。

在具體天體的運動(dòng)研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻，其中大部分是參加巴黎科學(xué)院征獎的課題。他的月球運動(dòng)理論研究論文多次獲獎。1763年完成的“月球天平動(dòng)研究”（Recherches sur laLibration de la lune）[6]獲1764年度獎，此文較好地解釋了月球自轉和公轉的角速度差異，但對月球赤道和軌道面的轉動(dòng)規律解釋得不夠好。后來(lái)在1780年完成的論文解決得更好（參見(jiàn)《文集》Ⅴ，pp.5—123）。獲1772年度獎的就是著(zhù)名的三體問(wèn)題論文[8]，也是針對月球運動(dòng)研究寫(xiě)出的。獲1774年度獎的論文為“關(guān)于月球運動(dòng)的長(cháng)期差”（Sur l’equation séculaire de la lune）[9]，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對月球的攝動(dòng)。關(guān)于行星和彗星運動(dòng)的論文也有兩次獲獎。1776年度獲獎的是他在1775年完成的三篇論文[10，11，12，]其中討論了行星軌道交點(diǎn)和傾角的長(cháng)期變化對彗星運動(dòng)的影響。1780年度的獲獎?wù)撐木褪翘岢鲋?zhù)名的拉格朗日行星運動(dòng)方程的那篇[13]。獲1766年度獎的論文是“木星的衛星運動(dòng)的偏差研究……”（Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…）[7]，其中第一次討論了太陽(yáng)引力對木星的四個(gè)衛星運動(dòng)的影響，結果比達朗貝爾的更好。

拉格朗日從事的天體力學(xué)課題還有很多，如在柏林時(shí)期的前半部分，還研究了用三個(gè)時(shí)刻的觀(guān)測資料計算彗星軌道的方法（《文集》Ⅳ，pp.439—532），所得結果成為軌道計算的基礎。另外他還得到了一種力學(xué)模型——兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題的解，這是歐拉已討論過(guò)的，又稱(chēng)為歐拉問(wèn)題。是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故后來(lái)又稱(chēng)為拉格朗日問(wèn)題（《文集》Ⅱ，pp.67—121）。這些模型仍在應用。有人用作人造衛星運動(dòng)的近似力學(xué)模型。此外，他在《分析力學(xué)》中給出的流體靜力學(xué)的結果，后來(lái)成為討論天體形狀理論的基礎。

總的看來(lái)，拉格朗日在天體力學(xué)的五個(gè)奠基者中，所做的歷史性貢獻僅次于拉普拉斯。他創(chuàng )立的“分析力學(xué)”對以后天體力學(xué)的發(fā)展有深遠的影響。

研究經(jīng)歷

拉格朗日在柏林期間完成了大量重大研究成果，為一生研究中的鼎盛時(shí)期，多數論文在上述兩刊物中發(fā)表，少量仍寄回都靈。其中有關(guān)月球運動(dòng)（三體問(wèn)題）、行星運動(dòng)、軌道計算、兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題、流體力學(xué)、數論、方程論、微分方程、函數論等方面的成果，成為這些領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng )性或奠基性研究。此外，還在概率論、循環(huán)級數以及一些力學(xué)和幾何學(xué)課題方面有重要貢獻。他還翻譯了歐拉和A．棣莫弗（De Moivre）的著(zhù)作。1782年給P．拉普拉斯（Laplace）的信中說(shuō)：“我幾乎寫(xiě)完《分析力學(xué)論述》（Traitéde Mécanique Analytique），但無(wú)法出版?！崩绽拱才旁诎屠璩霭?，出書(shū)時(shí)已是1788年，拉格朗日已到巴黎了。此書(shū)成為分析力學(xué)的奠基著(zhù)作。

1783年，老家建立“都靈科學(xué)院”，任命拉格朗日為名譽(yù)院長(cháng)。原出版刊物改為《都靈科學(xué)院綜合論叢》（Mélanges des l’Acade-mie des sciences des Turin）。拉格朗日也常寄論文回去發(fā)表。到1786年8月，因支持他的普魯士國王腓特烈二世去世，決定離開(kāi)柏林。他于1787年5月18日應巴黎科學(xué)院邀請動(dòng)身去法國。

巴黎時(shí)期（1787—1813）。拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科學(xué)院工作。由于他從1772年起就是該院副院士，這次來(lái)工作受到了更熱情的歡迎，可惜達朗貝爾已在1783年去世。

到巴黎的前幾年，他主要學(xué)習更廣泛的知識，如形而上學(xué)、歷史、宗教、醫藥和植物學(xué)等。1789年爆發(fā)資產(chǎn)階級革命，他只是有興趣地旁觀(guān)。1790年5月8日的制憲大會(huì )上通過(guò)了十進(jìn)位的公制法，科學(xué)院建立相應的“度量衡委員會(huì )”，拉格朗日為委員之一。8月8日，國民議會(huì )決定對科學(xué)院專(zhuān)政，三個(gè)月后又決定把A. L. 拉瓦錫（Lavoisier），拉普拉斯，C. A. 庫倫（Coulomb）等著(zhù)名院士清除出科學(xué)院。但拉格朗日被保留，并任度量衡委員會(huì )主席。

1792年，喪偶9年的拉格朗日同天文學(xué)家勒莫尼埃（LeMonnier）的女兒何蕾-弗朗索瓦-阿德萊德（Renée-Francoise- Adelaide）結婚，雖未生兒女，但家庭幸福。

1793年9月政府決定逮捕所有在敵國出生的人，經(jīng)拉瓦錫竭力向當局說(shuō)明后，把拉格朗日作為例外。

1794年5月7日法國雅各賓派開(kāi)庭審判波旁王朝包稅組織人物，把包括拉瓦錫在內的28名成員全部處以死刑，拉格朗日等人盡力地挽救，請求赦免，但是遭到了革命法庭副長(cháng)官考費那爾（J.B.Coffinhal）的拒絕，全部予以駁回，并宣稱(chēng)，“共和國不需要學(xué)者，而只需要為國家而采取的正義行動(dòng)！”第二天5月8日的早晨，拉格朗日痛心地說(shuō)：“他們可以一眨眼就把拉瓦錫的頭砍下來(lái)，但他那樣的頭腦一百年也再長(cháng)不出一個(gè)來(lái)了?！?/p>

1795年成立國家經(jīng)度局，統一管理全國航海、天文研究和度量衡委員會(huì )，拉格朗日是委員之一。同年成立的兩個(gè)法國最高學(xué)府：師范學(xué)校和綜合工科學(xué)校中，拉格朗日等為首批教授。在取消對科學(xué)院的專(zhuān)政后，1795年建立了法國最高學(xué)術(shù)機構——法蘭西研究院，選舉拉格朗日為第一分院（即科學(xué)院）的數理委員會(huì )主席。此后他才重新進(jìn)行研究工作，但主要是整理過(guò)去的工作，并結合教材編寫(xiě)完成一批重要著(zhù)作。

《分析力學(xué)論述》于1788年出版后，拉格朗日就著(zhù)手把書(shū)中的原理和方法推廣到一般的情況。他在1810年前發(fā)表的一些論文，

如在《法蘭西學(xué)院文獻》（Memoires de l' Institute）中刊登的“關(guān)于任意常數變異法在所有力學(xué)問(wèn)題中的一般理論”（Memoirs surla théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique，1809年3月宣讀）等，都是為修改出第二版作準備。第二版更名為《分析力學(xué)》（Mé-canique analytique），分兩卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年。

他在師范學(xué)校的教材《師范學(xué)校數學(xué)基礎教程》（Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l' cole Normale）于1796年出版，后來(lái)收進(jìn)《拉格朗日文集》（Oeuvres de Lagrange，下面簡(jiǎn)稱(chēng)《文集》），第七卷的內容他在1812年做過(guò)大量充實(shí)。

1798年出版的《論任意階數值方程的解法》（Traité de la résolution des éqnations numériques de tous les degrés），總結了早年在方程式論方面的成果，并加以系統化，充實(shí)后于1808年再版。

關(guān)于函數論方面他出版了兩本歷史性著(zhù)作。一是《解析函數論，含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或用在消失的量，或極限與留數等概念，而掃結為代數分析藝術(shù)》（Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits， d'éranouissa-nts，de limites et de fluxions，et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies），1797年出版，1813年再版；另一本《函數計算教程》（Lecons sur le calcul des fonctions），1801年出版，由師范學(xué)校講義改編。

1799年霧月政變后，拿破侖（Napoleon）提名拉格朗日等著(zhù)名科學(xué)家為上議院議員及新設的勛級會(huì )榮譽(yù)軍團成員，封為伯爵；還在1813年4月3日授予他帝國大十字勛章。此時(shí)拉格朗日已重病在身，終于在4月11日晨逝世。在葬禮上，由議長(cháng)拉普拉斯代表上議院，院長(cháng)拉賽佩德（Lacépède）代表法蘭西研究院致悼詞。意大利各大學(xué)都舉行了紀念活動(dòng)，但柏林未進(jìn)行任何活動(dòng)，因當時(shí)普魯士加入反法聯(lián)盟。

人物評價(jià)

拉格朗日是18世紀的偉大科學(xué)家，在數學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻。但他主要是數學(xué)家，拿破侖曾稱(chēng)贊他是“一座高聳在數學(xué)界的金字塔”，他最突出的貢獻是在把數學(xué)分析的基礎脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用。使數學(xué)的獨立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上也起了歷史性作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴密性不夠妨礙著(zhù)他取得更多的成果。

人物著(zhù)作

拉格朗日的著(zhù)作非常多，未能全部收集。他去世后，法蘭西研究院集中了他留在學(xué)院內的全部著(zhù)作，編輯出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷（Serret）主編，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷。第一卷收集他在都靈時(shí)期的工作，發(fā)表在《論叢》第一到第四卷中的論文；第二卷收集他發(fā)表在《論叢》第四、五卷及《都靈科學(xué)院文獻》第一、二卷中的論文；第三卷中有他在《柏林科學(xué)院文獻》（1768—1769年，1770—1773年）發(fā)表的論文； 第四卷刊有他在《柏林科學(xué)院新文獻》（1774—1779年，1781年，1783）年發(fā)表的論文；第五卷刊載上述刊物（1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年）發(fā)表的論文；第六卷載有他未在巴黎科學(xué)院或法蘭西研究院的刊物上發(fā)表過(guò)的文章；第七卷主要刊登他在師范學(xué)校的報告；第八卷為1808年完成的《各階數值方程的解法論述及代數方程式的幾點(diǎn)說(shuō)明》（Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques）一書(shū)；第九卷是1813年再版的《解析函數論，含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結為代數分析藝術(shù)》一書(shū)；第十卷是1806年出版的《函數計算教程》一書(shū)；第十一卷是1811年出版的《分析力學(xué)》第一卷，并由J．貝特朗(Bertrand)和G．達布（Darboux）作了注釋?zhuān)坏谑頌椤斗治隽W(xué)》的第二卷，仍由上述二人注釋?zhuān)硕頃?shū)后來(lái)在巴黎重?。?965）；第十三卷刊載他同達朗貝爾的學(xué)術(shù)通訊；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，歐拉等人的學(xué)術(shù)通訊，此二卷都由L．拉朗（Lalanne）作注釋。還計劃出第十五卷，包含1892年以后找到的通訊，但未出版。